The Derivative

موضوع: The Derivative 2011-11-11, 17:16

The Derivative

تعريف 1 : لتكن $The Derivative 9759484b3b3dd4d079da8ff4e65fb450$ دالة وكانت $The Derivative 4361cfb7439b1d535d909a18a8d9ac24$ عنصر من الفترة $The Derivative Ff44570aca8241914870afbc310cdb85$ . نقول أن الدالة قابلة للتفاضل differentiable(تفاضلية) عند $The Derivative 4361cfb7439b1d535d909a18a8d9ac24$ إذا وجدت النهاية

$The Derivative Caff068cc851db63d4fe4246b8483626$

في هذه الحالة نرمز لهذه النهاية بالرمز $The Derivative 7dfba1adccc1d8db32106544e9832f75$ وتسمى مشتقة الدالة f عند $The Derivative 4361cfb7439b1d535d909a18a8d9ac24$ . نقول أن الدالة f قابلة للتفاضل على $The Derivative 57936f61b655e5d5d1b8586a63361ea6$ إذا كانت قابلة للتفاضل عند كل نقطة من S.
الدالة التي تخصص لكل نقطة $The Derivative Af3c1adca188345d2a91c0d13a891b9f$ مشتقتها (إن وجدت هذه المشتقة) تسمى الدالة المشتقة ونرمز لها برمز نيوتن $The Derivative 6bda8af54c40bc23ed858e9e9f5c11d2$ أو رمز ليبنز $The Derivative E2ca8dd0a085c96bb409feee314af24e$ وأحيانا رمز أويلر $The Derivative Eac9d2ca6101292723298577105d9940$ .

إذا كانت $The Derivative 936d101864d5e4a98aa7e7101f8573f2$ فعند نقطتي النهاية, نعرف ما يسمى مشتقة الجهة الواحدة كالتالي :

$The Derivative C75911cb38bd51df5418606c381d792e$

$The Derivative 5e476523a71a12c3e96fbeee2c4dbced$

بشرط وجود هذه النهايات ويطلق عليها بالمشتقة اليمنى واليسرى على الترتيب.

مثال 1 : إذا كانت $The Derivative 185c7e68e527fb5a98f4d8cf1355afec$ معرفة بالقانون $The Derivative 3d3b0cdf8429a6c2a0aa97839fbbf0ea$ ولتكن c قطة اختيارية من $The Derivative A8522983ea3cebcc5d6f6e628a96dc34$

$The Derivative 6a5336f0aa177c5f9f3da03ee992ed1c$

بنفس الأسلوب نجد أن $The Derivative 7c360937b98d50d5be7c3a177c472756$ وعليه فإن الدالة f قابلة للتفاضل على كامل مجالها وأن :

$The Derivative Ac4e7c529bd4f3222d1313f72bcd8cab$

نظرية 1 : إذا كانت $The Derivative 9759484b3b3dd4d079da8ff4e65fb450$ دالة قابلة للتفاضل (تفاضلية) عند النقطة $The Derivative 4361cfb7439b1d535d909a18a8d9ac24$ فإنها متصلة عند هذه النقطة .الإثبات: لتكن $The Derivative Acba5760305da31a1c7cf1f927cc59f8$ نقطة مغايرة للنقطة $The Derivative 4361cfb7439b1d535d909a18a8d9ac24$ . إذا

$The Derivative 3d89f8f511ff66cf3460a13cf26a7e40$

الآن خذ النهاية للطرفين مع توزيع النهاية على الضرب الموجود في الطرف الأيمن مع ملاحظة أن

$The Derivative 4ebc979dc53e66bc21256be406a42336$

إذا $The Derivative 2fb4b1389936bae5c9c251526583e497$ وبالتالي $The Derivative 13a1b598bd4b5e290d73f064fb1140db$ . إذا f متصلة عند $The Derivative 4361cfb7439b1d535d909a18a8d9ac24$ .
إذا
الاتصال شرط ضروري لوجود المشتقة عند نقطة , ولكنه ليس كافيا , بمعنى
وجوده في دالة لا يكفي لوجود المشتقة والأمثلة على هذا مألوفة في الكتب
المقررة.

مراجع
1. المدخل الى التحليل الرياضي , خضر حامد الأحمد
2. Introduction to Real Analyssis , R. G Partle, D. R. Sherbert