Chain Rule

موضوع: Chain Rule 2011-11-11, 17:28

Chain Rule

قاعدة السلسلة أداة
رئيسية في الاشتقاق , فهي تمكننا من اشتقاق تركيب(تحصيل) الدوال بدون عناء,
أهميتها أيضا تظهر إذا ما علمنا أن فصل كبير جدا من الدول التي نتعامل
معها هي في حقيقة الأمر تركيب لدالتين أو ربما أكثر. فمثلا الدالة

$Chain Rule Dff9a820488808fc8a941fda57f27c28$

هي تركيب للحدودية $Chain Rule A55b796b0aaa57c5fe35a697e3f55301$ مع الدالة الجذرية $Chain Rule 8a8567539af38c8e6929b34b70f9645a$ .

$Chain Rule 8466c08dfac005ad1828c073375ca70c$

نظرية
السلسلة تعبر عن اشتقاق تركيب من خلال مشتقة كل من الدوال الداخلة في هذا
التركيب (التحصيل) وتمتلك قالب واضح ليس من السهولة نسيانه . فإذا كانت
الدالة h معرفة بالصورة

$Chain Rule 05d8bf7b7ddcd4a84dfa451fa1459ea5$

فإن المتطابقة :

$Chain Rule Db62d08f6922f98cb6ab910c0b5d4d35$

تجعلنا نتوقع أن مشتقة الدالة h عند النقطة c (إن وجدت) ستكون بالصورة

$Chain Rule B70d779a732caad10375c9bd99c825f4$

اي
أن مشتقة h عند c هي حاصل ضرب مشتقة g عند f(c) في مشتقة f عند c . سنثبت
صحة هذا الحدس الآن لكن نحتاج الى مزيد من الدقة في تعريف مجال كلا من f,g
.

نظرية (قاعدة السلسلة Chain Rule) :
إذا كانت $Chain Rule 9759484b3b3dd4d079da8ff4e65fb450$ وكانت $Chain Rule 51fbd17a5ddd1133177762fbe0255f7d$ دالتين مجالهما الفترتين I,J بحيث أن مدى الدالة f محتوى في الفترة I , أي $Chain Rule 073c944c1f7e97da8cb3c204eedce292$ وكانت f قابلة للاشتقاق عند c و g قابلة للاشتقاق عند f(c) فإن الدالة التركيب $Chain Rule B8a42556f118a40361b3c3cab6c88296$ قابلة للاشتقاق عند النقطة يعطى اشتقاقها بالصيغة

$Chain Rule B70d779a732caad10375c9bd99c825f4$

الإثبات :
افرض أن $Chain Rule Afccc6c70302e1170f14bc838caf256c$ . من المتطابقة أعلاه نأخذ الجزء الأوسط ولنعرف على I الدالة التالي
ة

$Chain Rule Efe01e31d20f7ba5517352222c1c54c0$ و $Chain Rule A288c7eeb67e7f1def46f1101e1e2565$ عندما y=a

من خلال هذا التعريف يتضح اتصال G عند a وذلك لأن $Chain Rule B613e4026fe5173659d8adca0016526e$ . إذا $Chain Rule 1c55d975fa1002aabd8bca847d9eddb4$ متصلة عند c وبالتالي:

$Chain Rule A70bf2a665b7652e06266b3289dd7515$

إذا كتبنا الدالة G على الصورة

$Chain Rule 3f38c6affd73ad884509a5143a496414$

وكانت x نقطة اختيارية من الفترة J مختلفة عن c فإن

$Chain Rule Cc0baf2b38ad17fc7869018e5bf5ef33$

اقسم على x - c واوجد النهاية للطرفين

$Chain Rule Eeeb87ea7e9ea95b5e57818a67029d65$

اي أن

$Chain Rule 40016a5cb17214c6898d75ede8cb2c9b$

إذا $Chain Rule B8a42556f118a40361b3c3cab6c88296$ قابلة للاشتقاق عند c وبذلك تثبت النظرية.

كنتيجة
واضحة من هذه النظرية فإنه إذا كانت f قابلة للاشتقاق على كامل J وكانت g
قابلة للاشتقاق على كامل I فإن نظرية السلسلة تؤكد ان التركيب $Chain Rule B8a42556f118a40361b3c3cab6c88296$ قابلة للاشتقاق ودالة المشتقة لها الصورة:

$Chain Rule Ab3784b6361328927c7c694465f61d52$

اي أن

$Chain Rule 6c00829f89609848b1c09ad20583975c$

هناك
صورة أخرى لقاعدة السلسلة تناسب أغراض التفاضل والتكامل بدلالة المتغيرات
بدلا من الدوال, فإذا كان المتغير y معتمد على (دالة في ) المتغير t, $Chain Rule 4f23109bd62e084cb8ff73a92fa74090$ , وكان t معتمد أو دالة في x $Chain Rule Fa4ea7abe7ac125e630777443bcba543$ فإن

$Chain Rule 2d34073e4a8d0dc19e755847bb930460$

تمرين: لتكن $Chain Rule 9759484b3b3dd4d079da8ff4e65fb450$ قابلة للإشتقاق على J وليكن n عدد طبيعي . بين أن

$Chain Rule 0f59b789a96424d95359bcafbaf6623b$